正电子成像最大似然估计由于考虑数据的统计特性,能够充分利用系统固有的分辨率,而获得分辨率和噪声特性均优于滤波反投影重建的重建效果
[1] 。针对最大似然估计(maximum likelihood,ML)算法求解问题,Shepp 等
[2]把期望最大化迭代算法(expectation maximization,EM)应用到似然函数最大化算法中,形成MLEM算法。这种计算方法具有全局收敛性,非负性和计数保持的特点
[3] 。因此MLEM算法得到了广泛的研究和应用,成为PET图像重建的经典算法之一。然而MLEM算法收敛速度慢,且往往会产生不稳定现象
[4] ,即随着迭代次数的增加,图像反而逐步退化。
这是由于正电子发射断层成像(positron emission tomography,PET)图像重建实质是一个病态解的求解问题,MLEM算法虽然加入了统计模型,但仍不能克服求解病态的困难。Bayesian方法或最大后验法(maximum a posteriori, MAP)被认为是解决图像重建中病态问题的有效方法
[5-6] 。MAP方法通过引入图像的先验分布约束,而提高重建图像的分辨率和噪声性能。在MAP方法中,最主要的是势函数和超参数的选取。然而,很多先验分布模型以平滑图像为目的,如Levitan等[7]的标准高斯分布。目前应用最广的是马尔科夫随机场(Markov random field,MRF)或Gibbs先验模型。MRF先验模型的优点在于它不仅可以产生平滑的图像,还能保持图像原有的细节。对于MRF或Gibbs模型,Bouman等
[8-9]认为要使MAP重建的数值稳定,先验势函数应当是凸的。此外,很多学者选择不同的势能函数来设计用于Bayesian重建的不同先验模型。常用的凸函数有高斯先验x
2 (Levitan和Herman),Huber先验
[10] ,拉普拉斯先验 │x│ (等价于TV正则项)
[11-13] ;常用的非凸势函数Blake等
[14]提出的{x
2,1}函数,Geman 等提出的
.jpg)
函数。
本文提出一种基于指数型势函数的MRF先验模型的MAP图像重建算法。该指数型函数是凸的,因此有利于估计问题,允许ML估计惟一。并且该指数型函数具有阈值特性,即当自变量超过这个阈值时函数会趋于饱和,这种特性保证了先验不破坏图像的突变信息(边界)。实验证明,本文算法在降低噪声和保持边缘方面均具有好的效果。